¿Cuántos bocadillos diferentes podría comer?

Imagina que vas a un restaurante de comida rápida, en el que te dan a elegir los ingredientes con los que puedes elaborar tu propio bocadillo.

 

Tienes para elegir:

1. 5 tipos de panecillos (normal, integral, sin gluten, de centeno, de maíz), a elegir 1,
2. 4 tipos de verduras (lechuga, tomate, pepino y cebolla); a elegir de 0 a 4 de estos ingredientes,
3. 7 tipos de queso (parmesano, manchego, Emmental, camembert, brie, azul, fundido), a elegir entre 0 y 2,
4. 6 tipos de salsa (mayonesa, ketchup, barbacoa, tomate, mostaza, holandesa) a elegir de 0 a 1,
5. 5 clases de hamburguesa (de buey, cerdo, pollo, garbanzo y soja), a elegir 1.

¿De cuántas maneras podría hacerme el bocadillo?

Vamos a llamar a C(n,k) a todas las maneras de elegir k objetos distintos entre una familia de n posibles y sin importar el orden en que se toman (da lo mismo poner la carne encima de la lechuga o debajo). En matemáticas, se llama un número combinatorio y su valor –para las personas que tengan curiosidad– es n!/(k! (n-k)!), donde n! es el producto n (n-1) (n-2) ... 3.2.1.

Vamos a dar unos ejemplos para entenderlo mejor: tengo C(5,1)=5 maneras de elegir un panecillo entre las 5 posibilidades que me ofrecen. Si quiero elegir 2 verduras entre las 4 que me ofrecen, tengo C(4,2)=6 maneras de hacerlo (lechuga y tomate, lechuga y pepino, lechuga y cebolla, tomate y pepino, tomate y cebolla, y por último pepino y cebolla).

Con las reglas impuestas por el restaurante de comida rápida, podré entonces elegir:

1. el panecillo: de C(5,1)=5 maneras,
2. las verduras: si no quiero ninguna lo puedo hacer de C(4,0)=1 manera; si quiero 1 verdura podré elegirla de C(4,1)=4 maneras; si quiero 2 verduras podré elegirlas de C(4,2)=6 maneras; si quiero 3 verduras podré elegirlas de C(4,3)=4 maneras y si quiero 4 verduras, podré elegirlas de C(4,4)=1 manera. Es decir, las verduras se pueden elegir de 16 maneras diferentes.
3. los quesos: si no quiero ninguno, lo puedo hacer de C(7,0)=1 manera; si quiero 1 queso podré elegirlo de C(7,1)=7 maneras; y si quiero combinar 2 clases de queso podré elegirlos de C(7,2)=21 maneras. Es decir, los quesos se pueden elegir de 29 maneras diferentes.
4. las salsas: si no quiero ninguna, lo puedo hacer de C(6,0)=1 manera y si quiero 1 salsa, podré elegirla de C(6,1)=6 maneras. Es decir, las salsas se pueden elegir de 7 maneras diferentes.
5. la hamburguesa: la puedo elegir de C(5,1)=5 maneras.

¿Cuántas hamburguesas podré entonces elaborar? Para saberlo, debo multiplicar todos los resultados posibles que hemos calculado arriba, ya que, por ejemplo, es independiente la elección realizada de pan y la de verduras.

Es decir, hay:

5 x 16 x 29 x 7 x 5 = 81.200 maneras de hacerse el 'bocata'...

¡Ay, con lo indecisa que soy!

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