Una cuestión de edades

Zuriñe, Xabi y Yaiza cumplen años el 15 de agosto, pero no del mismo año. Se sabe además lo siguiente:

1. Cuando Zuriñe tenía 4 años, Xabi tenía tres veces la edad de Yaiza.
2. Cuando Yaiza tenía el doble de años que Zuriñe, Xabi tenía cinco veces la edad de Zuriñe.

Se desea saber lo siguiente: ¿Qué edad tenía Zuriñe cuando Xabi tenía el doble de años que Yaiza?

Solución:

Parece un pequeño trabalenguas, pero sólo se trata de escribir con cuidado toda la información proporcionada.

Intentad obtener el resultado a vuestra manera antes de mirar la solución...

Vamos a llamar X e Y a la edad de Xabi y Yaiza cuando Zuriñe tenía 4 años. El punto 1. afirma entonces que X=3Y.

Supongamos que han pasado A años desde que Zuriñe cumplió 4 años para que se cumpla lo enunciado en el punto 2., es decir, para que Yaiza tenga el doble de años que Zuriñe y Xabi tenga cinco veces la edad de Zuriñe. Esto nos proporciona otras dos ecuaciones (para todos ellos han pasado A años), que son:

Y+A=2(4+A) y X+A=5(4+A).

Y supongamos finalmente que han pasado B años desde que Zuriñe cumplió 4 años para que se cumpla que Xabi tiene el doble de años que Yaiza, es decir, para que sea X+B=2(Y+B).

La pregunta que se nos plantea es ¿cuánto es 4+B?

Recopilando todos los datos, tenemos cuatro ecuaciones con 4 incógnitas (X, Y, A y B):

X=3Y
Y+A=2(4+A)
X+A=5(4+A)
X+B=2(Y+B).

De la cuarta ecuación, deducimos que X=2Y+B. Usando ahora la primera ecuación, se obtiene que Y=B. De la segunda ecuación, se sigue que Y=8+A. Simplificando la tercera ecuación (y combinándola con la primera), tenemos que 3Y=20+4A.
Y finalmente, usamos un pequeño truco para encontrar B:

B=Y=4Y-3Y=4(8+A)-(20+4A)=12.

Es decir, el número que nos piden es 4+B=16.

Aunque con esto habríamos terminado, para quien tenga curiosidad, como B=12, usando las ecuaciones de arriba, también es Y=12, con lo que X=36 y A=4.

Es decir, cuando Zuriñe tenía 4 años, Xabi tenía 36 y Yaiza 12.

Cuatro años más tarde (A=4), Zuriñe tenía 8 años, Xabi 40 y Yaiza 16, y efectivamente en ese momento, Yaiza duplicaba la edad de Zuriñe y Xabi la quintuplicaba.

Y ocho años más tarde (doce desde que Zuriñe tenía 4 años, B=12), Zuriñe tenía 16 años, Xabi 48 y Yaiza 24... y efectivamente, en ese momento, ¡Xabi duplicaba la edad de Yaiza!

Nota: Este uno de los retos propuestos en el calendario matemático 2014.

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