15 POCO = MUCHO

El juego matemático que sigue es una propuesta de Bob High y consiste en lo siguiente: si cada letra representa un dígito diferente, ¿qué suma está escondida aquí?

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

POCO

+POCO

________

MUCHO

 

 

Es decir, si la suma de 15 'POCO' es igual 'MUCHO', se trata de buscar el valor numérico de POCO y de MUCHO.

Piensa un poquito antes de ver la solución. El argumento que vamos a dar a continuación no es complicado, pero requiere un poco de paciencia para ir averiguando el valor de cada dígito.

SOLUCIÓN:

La anterior suma puede plantearse del modo siguiente (*):

15(1000P+100O+10C+O) = 10 000M+1000U+100C+10H+O.

MUCHO es múltiplo de 15, en particular, es múltiplo de 5, por lo que O debe ser 0 ó 5.

1) Si O fuera 0, en la segunda columna (la correspondiente a las decenas) no hay llevada, y (*) quedaría:

15(1000P+10C) = 10 000M+1000U+100C+10H.

Entonces, debe ser forzosamente 15C=10C+H (un número de dos dígitos) puesto que la suma de la columna de las centenas es 0. Despejando, 5C=H. Luego H es 0 ó 5. Como ya hemos asignado el 0 a O (recordar que cada letra representa un dígito distinto), H debe ser 5, y entonces C es 1. Como para estos valores de C y H no hay llevada, queda:

15P = 10M+U.

Pero esto es imposible, porque U es entonces múltiplo de 5, y ya hemos asignado los valores 0 a la O y 5 a la H.

2) Por lo tanto O debe de ser 5. En tal caso, la llevada procedente de la columna de las unidades sería de 7 (15x5=75).

¿Cuánto vale C? ¿Puede ser 0? Si lo fuera, H=7 (recordar la llevada) y no habría llevada para la columna de las centenas, y esto es imposible, porque 15O=75 debería acabar en 0, y no lo hace. Así, C no puede ser 0.

Podemos ir preguntándonos: ¿puede ser C=1?... ¿Puede ser C=8? Argumentando de manera similar al caso anterior se llega a un conflicto en algún momento, y se deduce entonces que C=9. No damos todos estos argumentos para no aburrir, pero es divertido hacerlos e ir descartando cada una de las posibilidades.

Entonces, 15C+7=142 nos dice que H=2 y que tenemos una llevada de 14 para la suma de los dígitos de la columna de las centenas. Es decir, la columna de las centenas con su llevada suma 15x5+14=89. Y esto nos da una llevada de 8 para la columna de unidades de millar, quedando:

15P+8=10M+U.

Como 8-U=10M-15P, 8-U debe ser múltiplo de 5, es decir, 8-U es 0 ó 5. Si 8-U fuera 5, U sería 3, y quedaría 15P+5=10M. Dando todos los posibles valores a P (los que quedan, es decir, 0, 1, 4, 6, 7 y 8), se llega a alguna contradicción, por lo que se deduce que 8-U es 0, y por lo tanto U es 8. Entonces, 15P=10M, es decir, 3P=2M, es decir, P es par y M es múltiplo de 3. La única posibilidad es que sea P igual a 4 y M igual a 6.

CONCLUSIÓN: POCO es 4595 y MUCHO es 68925.

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