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Números afortunados

¿Qué es un número afortunado? Es aquel que se "libra" de una determinada criba que explicamos a continuación.

Tomemos el listado de todos los números naturales, es decir:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, ...

Eliminemos los números que aparecen en las posiciones pares:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41...

 Entonces nos queda una nueva lista:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, ...

El segundo número en la anterior lista es el 3; eliminemos ahora todos los números que aparecen en posiciones que sean múltiplo de 3 (en tercera posición, sexta, novena, etc.).

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, ...

Nos queda entonces el nuevo listado:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 39...

Después del 3, el número que queda es el 7, así que eliminamos de la anterior lista los números que ocupan posiciones múltiplos de 7 (en séptima posición, decimocuarta, vigesimoprimera, etc.). .

1, 3, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 33, 37, 39, ...

Y queda entonces
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 27, 31, 33, 37, ...

Si continuamos de este modo, los números que permanecen son los "números afortunados".

Reiterando este sistema de criba, los primeros números afortunados son:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303, ...

Aunque pueda parecer sólo un juego, el estudio de este tipo de números ayuda a entender mejor la distribución de los números primos (son los que sólo pueden dividirse por 1 y por ellos mismos), un problema de gran interés en criptografía.

En [http://oeis.org/A000959/b000959.txt] puedes encontrar el listado de los 200.000 primeros números afortunados (el que ocupa la posición 200.000 es el número 3.022.281).

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