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Los factoriones

El factorial n! de un número natural n es el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n (por convenio, 0! = 1).
Por ejemplo:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Un factorion es un número natural que coincide con la suma de los factoriales de sus dígitos decimales.

Por ejemplo, 145 es un factorion porque:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145.

¿Hay muchos factoriones?

Realmente hay muy poquitos: sólo 4. ¿Y cuáles son? Son:

1! = 1
2! = 2
1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145
4! + 0! + 5! + 8! + 5!= 24 + 1 + 120 + 40.320 + 120 = 40.585

¿Es difícil comprobarlo? En realidad no: si n es un número natural con d dígitos y que además es un factorion, entonces se cumple claramente la siguiente desigualdad:

10d − 1 ≤ n ≤ 9!d

Si d ≥ 8, entonces 10d − 1 > 9!d , con lo que n puede tener como mucho 7 dígitos, es decir, n ≤ 9.999.999.

La suma máxima que puede obtenerse con los factoriales de los dígitos de un número de 7 dígitos es 9!7 = 2.540.160, es decir, debe ser n ≤ 2.540.160.

Y ya sólo es cuestión de paciencia –y mejor con la ayuda de un ordenador– hacer las comprobaciones oportunas...

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