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La magia del 1089 (explicación)

El pasado viernes comentábamos en La magia del 1089 una curiosa propiedad que posee el número 1089. La recordamos antes de explicarla con cuidado:
1) Toma un número A con tres cifras distintas comprendidas entre 0 y 9.
2) Intercambia las cifras de las unidades y las centenas, para obtener otro número B.
3) Resta el menor de esos dos números al otro para obtener el número C.
4) Intercambia las cifras de las unidades y las centenas de C, para obtener otro número D.
5) Suma C y D... y sale... 1089.

¿Es magia? No, son matemáticas... vamos a explicar lo que sucede, siguiendo los cinco pasos que se enunciaban arriba:

 

1) Si A consta de tres cifras distintas, eso significa que se escribe de la forma:

A = a + 10b + 100c,

donde a, b y c son sus dígitos, es decir, números comprendidos entre 0 y 9.

2) Si intercambiamos las cifras de las unidades y las centenas, el número obtenido es:

B = c + 10b + 100a.

3) Restamos el menor al mayor. Suponemos (si sucediera lo contrario, el argumento es similar) que B es menor que A, entonces:
C = A – B = (a-c) + (c-a)100.

Además, como los dígitos a y c son distintos (y porque hemos supuesto que B es menor que A), debe ser a menor que c, es decir, c-a es un número comprendido entre 1 y 9. Entonces a-c es un número negativo (entre -9 y -1), y –para llegar a la escritura decimal de C correcta–, realizamos unos simples cambios de escritura:

C = (a-c) + 100(c-a) = (a-c) + 100 + (c-a)100 - 100 = (a-c) + 100 + (c-a-1)100.

Hemos sumado y restado 100 (es decir, no hemos cambiado nada), y ahora c-a-1 es un número comprendido entre 1 y 9. Operamos y reagrupamos:

C = (a-c) + 100 + (c-a-1)100= (a-c+10) + 90 + (c-a-1)100.

Con este cambio c-a+10 es un número comprendido entre 1 y 9, es decir, la escritura decimal de C es:

C = (a-c+10) + 90 + (c-a-1)100.

4) Si intercambiamos las cifras de las unidades y las centenas de C, obtenemos el número D:

D = (c-a-1) + 90 + 100(a-c+10).

5) Si ahora sumamos C y D, podemos hacerlo adicionando (cada una por su lado) unidades, decenas y centenas, y queda:

C + D = (a-c+10) + (c-a-1) +

90 + 90 +

(c-a-1)100 + (a-c+10)100 =

9 + 180 + 900 = 1089.

CQD
Quod erat demonstrandum (Como queríamos demostrar)

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